Continuidad de funciones

Continuidad 

 Para que una función sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:

    a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

    b) Existan los lımites laterales.

Esta última propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una función es continua o no en un punto.

Continuidad de una función en un punto

La idea intuitiva de continuidad de una función en un punto es bien sencilla, ya que una función es continua en un punto cuando la gráfica de esa función se puede dibujar sin levantar el lapiz del papel en dicho punto, es decir cuando la gráfica no da saltos ni hay agujeros en dicho punto. 

Matemáticamente la definición de función continua en un punto es un poco más compleja: 

Definición: Una función f(x) es continua en un punto x = a si se verifican las condiciones siguientes:

       → Existe el límite de la función f(x) en x=a
       → La función se encuentra definida en x=a, es decir, existe f(a).
       → Los dos valores anteriores coinciden

f es continua en x =  a →   lim f(x) = f(a)

Vamos a ver a contuación un ejemplo de la continuidad de una función en un punto

Estudiar la continuidad de

f(2)= 4

Como se cumple que

entonces decimos que la función es continua en ese punto.

A tener en cuenta

Las funciones polinómicas, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todo R.
Por el contrario las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos en los cuales se anula el denominador. La función  (x+1/x-3) es continua en R − {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.




Continuidad de una función en un intervalo

Para finalizar tenemos que decir que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo. Aquí tenemos que distinguir si el intervalo es abierto ó cerrado

A.- Continuidad de una función en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en todos los puntos de ese intervalo. Veamos un ejemplo a continuación:





B.- Continuidad de una función en un intervalo cerrado